공수1 08년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
\frac{d y}{d x}=\tan ^2(x+y)
$$

2. 상미분방정식을 풀어라.

$$
\left(e^{x+y}+y e^y\right) d x+\left(x e^y+1\right) d y=0
$$

3. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

$$
2 x y \cdot y^{\prime}+(x-1) y^2=x^2 e^x
$$

4. 다음 미분방정식이 완전미분방정식임을 판별하고, 초깃값 문제의 특수해를 구하라.

$$
\left(\frac{3 y^2-t^2}{y^5}\right) \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{t}{2 y^4}=0, \quad y(1)=1
$$

5. 다음 초기치 문제를 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=17 \sin x-37 \sin 3 x, \quad y(0)=6.6, \quad y^{\prime}(0)=-2.2
$$

6. 다음 초기치 문제를 풀어라.

$$
x^3 y^{\prime \prime \prime}-x^2 y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+16 y=9 x \ln x, \quad y(1)=6, y^{\prime}(1)=18, y^{\prime \prime}(1)=65
$$

7. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}-y=\frac{2 e^x}{e^x+e^{-x}}
$$

8. 다음 미분방정식을 푸시오.

$$
y^{(4)}+2 y^{(2)}+y=16 \sinh x
$$

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Answer

 

1.

$$
\frac{1}{2}(y-x)+\frac{1}{4} \sin 2(x+y)=C
$$

2.

$$
e^x-e^{-y}+x y=C
$$

3.

$$
y^2=\frac{1}{2} x e^x+c x e^{-x}
$$

4. 완전미분방정식이 아니다., $$\quad-\frac{3}{2 y^2}+\frac{t^2}{4 y^4}=-\frac{5}{4}$$

 

5.

$$
y=e^{-x} \cos 3 x+6 \cos 3 x-\sin 3 x-0.4 \cos x+1.8 \sin x
$$

6.

$$
y=-x^2+x^{-2}+5 x^4+x(1+\ln x)
$$

7.

$$
y=c_1 e^x+c_2 e^{-x}+2 \cosh x \cdot \tan ^{-1}\left(e^x\right)-1
$$

8.

$$
y=\left(c_1 x+c_2\right) \cos x+\left(c_3 x+c_4\right) \sin x+2 e^x+2 e^{-x}
$$