공수1 09년도 중간 기출 및 해답

공수괴물 2025. 3. 27. 19:46

Problem

1. 다음 미분방정식을 풀어라.

$(e^{x} - \sin y) d x + \cos y d y = 0$

2. 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.

$y^{'} = (y - 1) \cot x$

3. 다음 미분방정식의 일반해와 특수해를 구하시오.

$y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 4 x^{2} + 6 e^{x}$

4. 다음 식을 매개변수 변환법으로 풀어라.

$x^{2} y^{''} - 4 x y^{'} + 6 y = x \cos x$

5. 제차 방정식의 해가 $e^{2 x}$ 와 $x e^{2 x}$ , 특수해가 $x + 1 + e^{x}$ 인 2계 비제차 선형상미분방정식을 만드시오.

6. 다음 미분 방정식의 일반해를 구하시오.

$y^{'''} - 4 y^{'} = t + 3 \cos t + e^{- 2 t}$

7. 다음 방정식의 초깃값 문제를 풀어라.

$y^{''} - 2 y^{'} = 12 e^{2 x} - 8 e^{- 2 x}, (y (0) = - 2, y^{'} (0) = 12)$

8. 다음 방정식의 초깃값 문제를 풀어라.

$y^{'''} + 3 y^{''} + 3 y^{'} + y = 8 \sin x, (y (0) = - 1, y^{'} (0) = - 3, y^{''} (0) = 5)$

Answer

1.

$x + e^{- x} \sin y = C$

2.

$y = C \sin x + 1$

3.

$y = (c_{1} x + c_{2}) e^{- 2 x} + x^{2} - 2 x + 1.5 + \frac{2}{3} e^{x}$

4.

$c_{1} x^{2} + c_{2} x^{3} + x^{3} \cdot \int \frac{\cos x}{x^{3}} d x - x^{2} \int \frac{\cos x}{x^{2}} d x$

5.

$y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 4 x + e^{x}$

6.

$y = c_{1} e^{2 t} + (c_{2} + \frac{1}{8} t) e^{- 2 t} - \frac{3}{5} \sin t - \frac{1}{8} t^{2} + c_{3}$

7.

$y = (6 x + 2) e^{2 x} - e^{- 2 x} - 3$

8.

$y = (x^{2} + 1) e^{- x} - 2 \sin x - 2 \cos x$