공수1 11년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $3 y^2 y^{\prime}+y^3=x-1$ 의 일반해를 구하라.

2. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
(2 x+3 y) d x+(y-x) d y=0
$$

3. 다음 초깃값 문제를 풀어라.

$$
y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, \quad y(1)=e
$$

4. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y y^{\prime \prime}=y^2 y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^2
$$

5. 상계수 제차 미분방정식의 한 해가 $y_1=e^{-2 x} \cos 5 x$ 이고, $y_p$ 가 $2 e^{-2 x}$ 인 2 계 비제차 선형 미분방정식을 구하라.

6. 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$
x^2 y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+9 y=x^3+x
$$

7. 다음 미분 방정식의 일반해를 구하라.

$$
y^{\prime \prime}+y=\sec ^3 x
$$

8. 거듭제곱급수 해법을 이용하여 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$
\left(x^2-1\right) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+2 y=0
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
y^3=x-2+c e^{-x}
$$

2.

$$
\frac{1}{2} \ln \left|y^2+2 x y+2 x^2\right|-2 \tan ^{-1}\left(1+\frac{y}{x}\right)=C
$$

3.

$$
y \cdot \ln \frac{x}{y}=-e
$$

4.

$$
\frac{1}{y}=-\frac{1}{c_1}+c_2 e^{-c_1 x} \quad \text { or } \quad \frac{y}{y+c_1}=c_2 e^{c_1 x}
$$

5.

$$
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=50 e^{-2 x}
$$

6.

$$
y=\left(c_1+c_2 \ln x+0.5(\ln x)^2\right) x^3+0.25 x
$$

7.

$$
y=c_1 \cos x+c_2 \sin x+0.5 \tan x \cdot \sin x
$$

8.

$$
a_0 \cdot \frac{1}{1-x^2}+a_1 \cdot \frac{1}{1-x^2}
$$