공수1 12년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $\tan ^2(x+y) d x-d y=0$ 에서 $y(0)=\pi$ 를 풀어라.

2. 적분인자를 이용하여 다음을 풀어라.

$$
y \cos \left(x^2\right) d x+\frac{2}{x} \sin \left(x^2\right) d y=0
$$

3. $\cos ^2 x \cdot \sin x d y+\left(y \cdot \cos ^3 x-1\right) d x=0$ 을 풀어라.

4. 다음 미분방정식을 구하시오.

$$
y^{\prime}+y=-\frac{x}{y}
$$

5. 차수 축소법을 이용해 $y_1=x-1$ 일 때, 다음 미분방정식의 $y_2$ 를 구하여라.

$$
\left(2 x-x^2\right) y^{\prime \prime}+2(x-1) y^{\prime}-2 y=0
$$

6. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3 \cdot \cos y=0
$$

7. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}+9 y=\frac{1}{4} \csc 3 x
$$

8. $y=e^{2 x}+x e^{2 x}+\left(x+1+e^x\right)$ 가 해로 갖는 2 계 비제차 선형미분방정식과 초기조건을 구하라.

---

 

Answer

 

1.

$$
\frac{1}{2}(y-x)+\frac{1}{4} \sin 2(x+y)=\frac{1}{2} \pi
$$

2.

$$
\frac{1}{2} y^4 \sin \left(x^2\right)=C
$$

3.

$$
y=\sec x+c \cdot \csc x
$$

4.

$$
y^2=-x+\frac{1}{2}+c e^{-2 x}
$$

5.

$$
y_2=x^2-x+1
$$

6.

$$
x+\cos y+c_1 y+c_2
$$

7.

$$
y=c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x-\frac{1}{12} x \cos 3 x+\frac{1}{36} \sin 3 x \ln |\sin 3 x|
$$

8.

$$
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^x+4 x, \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=5
$$