공수1 13년도 중간 기출 및 해답

공수괴물 2025. 3. 27. 19:52

Problem

1. $x d y = (y + x y + x y^{2}) d x = 0$ 를 풀어라.

2. $(x - 1) y^{''} - x y^{'} + y = 0, y_{1} (x) = e^{x}$ 가 앞의 미분방정식의 하나의 제차해이다. 또다른 제차해를 구하라.

3. 다음 미분방정식을 풀어라.

$d x + (x + \frac{x}{y} - 3) d y = 0$

4. $x y^{'''} + 3 y^{''} = e^{x}$ 를 풀어라.

5. 다음 미분방정식의 해를 구하라. $(x > 0)$

$y^{''} - \frac{4}{x} y^{'} + \frac{4}{x^{2}} y = x^{2} + 1$

6. 함수 $y_{1} = \cos (2 \ln x), y_{2} = \sin (2 \ln x), (x > 0)$ 을 해로 갖는 제차 선형상미분 방정식을 찾고, Wronskian을 이용하여 이들이 1 차 독립임을 명확히 보이시오.

$y^{''} + {(y^{'})}^{3} \cdot \cos y = 0$

7. 다음 초기값 문제를 풀어라..

$\frac{d y}{d x} = e^{y - x} \cdot (1 + x^{2}) \sec y, y (0) = 0$

8. 다음 미분방정식을 풀어라.

$y^{''} + (1 + \frac{1}{y}) {(y^{'})}^{2} = 0$

Answer

1.

$y^{- 1} = - (1 - \frac{1}{x}) + \frac{c}{x} e^{- x}$

2.

$y_{2} = - x$

3.

$(x y - 3 y + 3) e^{y} = C$

4.

$y = \frac{1}{x} e^{x} + \frac{c_{1}}{x} + c_{2} x + c_{3}$

5.

$c_{1} x - 0.5 x^{2} + (c_{2} + \frac{1}{3} \ln x) x^{4}$

6.

$x^{2} y^{''} + x y^{'} + 4 y = 0, l i n e a r l y i n d e p e n d n t$

7.

$\frac{e^{- y}}{2} (\sin y \cdot \cos y) + e^{- x} (x^{2} + 2 x + 3) = \frac{5}{2}$

8.

$(y - 1) e^{y} = c_{1} x + c_{2}$