공수1 13년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $x d y=\left(y+x y+x y^2\right) d x=0$ 를 풀어라.

2. $(x-1) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0, \quad y_1(x)=e^x$ 가 앞의 미분방정식의 하나의 제차해이다. 또다른 제차해를 구하라.

3. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
d x+\left(x+\frac{x}{y}-3\right) d y=0
$$

4. $x y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}=e^x$ 를 풀어라.

5. 다음 미분방정식의 해를 구하라. $(x>0)$

$$
y^{\prime \prime}-\frac{4}{x} y^{\prime}+\frac{4}{x^2} y=x^2+1
$$

6. 함수 $y_1=\cos (2 \ln x), y_2=\sin (2 \ln x),(x>0)$ 을 해로 갖는 제차 선형상미분 방정식을 찾고, Wronskian을 이용하여 이들이 1 차 독립임을 명확히 보이시오.

$$
y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3 \cdot \cos y=0
$$

7. 다음 초기값 문제를 풀어라..

$$
\frac{d y}{d x}=e^{y-x} \cdot\left(1+x^2\right) \sec y, \quad y(0)=0
$$

8. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}+\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(y^{\prime}\right)^2=0
$$

---

 

Answer

1.

$$
y^{-1}=-\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{c}{x} e^{-x}
$$

2.

$$
y_2=-x
$$

3.

$$
(x y-3 y+3) e^y=C
$$

4.

$$
y=\frac{1}{x} e^x+\frac{c_1}{x}+c_2 x+c_3
$$

5.

$$
c_1 x-0.5 x^2+\left(c_2+\frac{1}{3} \ln x\right) x^4
$$

6. 

 

$$x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+4 y=0, \quad linearly\,\, independnt $$

7.

$$
\frac{e^{-y}}{2}(\sin y \cdot \cos y)+e^{-x}\left(x^2+2 x+3\right)=\frac{5}{2}
$$

8.

$$
(y-1) e^y=c_1 x+c_2
$$