공수1 16년도 중간 기출 및 해답

Problem

1. 다음 미분 방정식을 푸시오.

$$
\left(e^{x-y}+2 e^{-2 y}\right) d x+\left(e^{x-y}+3 e^{-2 y}\right) d y=0
$$

2. $x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \cdot\left(y^{\prime}\right)^2$ 의 해를 구하여라.

3. 제시된 방법을 이용하여 다음 비제차방정식의 일반해를 구하여라.

$$
x y^{\prime \prime}-(1+x) y^{\prime}+y=x^2 e^{2 x},\left(z=y^{\prime}-y \text { 로 치환 }\right)
$$

4. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}=-\frac{y}{x^2}
$$

5. 다음 미분방정식을 푸시오.

$$
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=18 x
$$

6. 다음 미분방정식의 $y_2$ 를 구하고, 비제차 방정식의 일반해를 구하라.

$$
x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^2-\frac{1}{4}\right) y=x^{\frac{3}{2}}, y_1=x^{-\frac{1}{2}} \cos x
$$

7. ((1)) 다음 행렬 $A=\left[\begin{array}{ll}9 & 4 \\ x & 1\end{array}\right]$ 의 고윳값이 5 가 될 $x$ 의 값을 구하여라.
    ((2)) 이때, 고유벡터를 구하여라.

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Answer

 

1.

$$
e^{x+y}+2 x+3 y=C
$$

2.

$$
y=-\ln \left|x^2+c_1\right|+c_2
$$

3.

$$
y=\frac{1}{2}(x-1) e^{2 x}+c_1 e^x+c_2(x+1)
$$

4.

$$
y=x^{\frac{1}{2}}\left\{c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln x\right)+c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln x\right)\right\}
$$

5.

$$
y=c_1 e^x+c_2 e^{3 x}+3 x^2+8 x+c_3
$$

6.

$$
y=x^{-\frac{1}{2}}\left(c_1 \cos x+c_2 \sin x+1\right)
$$

7.

 $$ (1) \,\,  x=-4 \quad (2) : \left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right] $$