공수1 17년도 중간 기출 및 해답

공수괴물 2025. 3. 27. 20:01

Problem

1. 다음 미분방정식을 풀어라. $(6 점$ )

$(y + x + x e^{\frac{y}{x}}) d x - x d y = 0$

2. $(y - 2 x y^{2} e^{x}) d x + d y = 0$ 을 풀어라. $(6 점$ )

3. 다음 미분방정식을 풀어라. $(8 점$ )

$y^{''} + 9 y = - 4 x \sin x + \sec^{2} 3 x$

4. $y = x + \frac{1}{u (x)}$ 로 치환하여 다음 미분방정식을 풀어라. $(6 점$ )

$y^{'} - (2 x^{3} + 1) y = - x^{2} y^{2} - x^{4} - x + 1$

5. $x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = x^{2} \ln x$ 을 풀어라. $(6 점$ )

6. $y^{(4)} + y^{''} + y = 42 x e^{2 x}$ 을 풀어라. $(8 점$ )

7. $A = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하라.

Answer

1.

$x = C \cdot \frac{e^{\frac{y}{x}}}{1 + e^{\frac{y}{x}}}$

2.

$y^{- 1} = e^{x} (- x^{2} + c)$

3.

$y = (\frac{1}{3} x^{2} + c_{1}) \cos 3 x + (- \frac{1}{9} x + c_{2}) \sin 3 x + \frac{1}{9} \sin 3 x \cdot \ln | \sec 3 x + \tan 3 x | - \frac{1}{9}$

4.

$y = x + \frac{1}{(x^{2} - 2 x + 2) + c e^{- x}}$

5.

$y = (c_{1} + c_{2} \ln x + \frac{1}{6} (\ln x)^{3}) x^{2}$

6.

$y = e^{- 0.5 x} (c_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + c_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x) + e^{0.5 x} (c_{3} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + c_{4} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x) + (2 x - \frac{24}{7}) e^{2 x}$

7.

${\begin{cases} {[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}]}^{T} & (λ = 0) \\ {[\begin{array}{lll} 0 & 2 & 1 - i \end{array}]}^{T} & (λ = i) \\ {[\begin{array}{lll} 0 & 2 & 1 + i \end{array}]}^{T} & (λ = - i) \end{cases}$