공수1 18년도 중간 기출 및 해답

 

 

Problem

 

1. 다음 미분방정식을 풀어라. ((6점))

$$
y^{\prime}=\frac{2 x y \cdot e^{\left(\frac{x}{y}\right)^2}}{y^2+y^2 e^{\left(\frac{x}{y}\right)^2}+2 x^2 e^{\left(\frac{x}{y}\right)^2}}
$$

2. $(-x y \sin x+2 y \cos x) d x+2 x \cos x d y=0$ 을 완전미분방정식으로 되게하는 적분인자 

    $F(x, y)=x \cdot h(y)$ 을 구하고 방정식의 해를 구하시오. ((6점))

3. $y_1=e^{-x} \cdot \cos 3 x, y_2=e^{-x} \cdot \sin 3 x$ 에 대하여 다음을 구하라.
     ((a)) $y_1$ 과 $y_2$ 를 해로 갖는 2 계 제차 선형 상미방을 구하라.
     ((b)) $x=0$ 에 관한 Wronskian 값을 구하라.

4. $x^2 y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(x^2+2\right) y=0$ 의 해가 기저 중 하나가 $y(x)=\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$ 이다. 이것을 이용하여     $x^2 y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(x^2+2\right)=2 x$ 의 일반해를 구하라. ((6점))

5. $y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=t+3 \cos t+e^{-2 t}$ 상미분 방정식을 풀어라. ((6점))

6. 행렬 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 7 \\ 2 & 8 & 18 \\ 1 & 5 & 11\end{array}\right]$ 일때, A 의 열벡터들의 1 차 결합으로 벡터 $b=\left[\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ q\end{array}\right]$ 를 나타낼 수 없는   이유를 설명하고 q 의 조건을 구하시오.((6점))

 

7. 다음 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구하라. ((6점))

$$
A=\left[\begin{array}{llll}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
\frac{1}{y}\left(1+e^{\left(\frac{\pi}{y}\right)^2}\right)=C
$$

2.

$$
x^2 y^2 \cos x=C
$$

3.

$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=0, \quad \text { Wronskian }=3
$$

4.

$$
y=c_1 \cdot \frac{\sin x}{x^2}+c_2 \cdot \frac{\cos x}{x^2}+\frac{2}{x}
$$

5.

$$
y=c_1 e^{2 t}+\left(c_2+\frac{1}{8} t\right) e^{-2 t}-\frac{1}{8} t^2-\frac{3}{5} \sin t+c_3
$$

6. $q=6$ 인 경우만 가능하다.

 

7.

$$
\begin{cases}{\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
-1
\end{array}\right]} & (\lambda=-1) \\
{\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]} & (\lambda=3)\end{cases}
$$