공수1 24년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 미분방정식 $y^{\prime}\{2 y \tan (x+y)+1\}+1=0$ 의 일반해를 구하라. [5점]

 

2.미분방정식 $x y^{\prime}+4 y=8 x^4$ 의 모든 해가 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 을 만족시킬 때, 미분방정식 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=p(x)$ 의 일반해를 구하라. $(x>0)$ [6점]

 

3. 미분방정식 $y(x \tan x+\ln y) d x+\tan x d y=0$ 의 해를 구하기 위해 $u=f(y)$ 로 치환하면 주어진 방정식은 선형 미분방정식이 되어 해를 구할 수 있다. $f(y)$ 와 해를 구하라. [5점]

 

4. 다음 미분방정식을 풀어라.[6점]
$$
2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=x \sinh x
$$

 

5. $\left(x^2-x\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=x^3-2 x^2+x$ 의 대응하는 제차미분방정식의 한 해가 $y_1=x$ 일 때, 비제차미분방정식의 일반해를 구하라. [6점]

 

 

6. 다음 선형연립방정식이 자명하지 않은 해 ((nontrivial \,\,solution))를 가지게 하는 모든 $\lambda$ 의 값을 결정하고 해를 구하라. [6점]
$$
\begin{aligned}
& (5-\lambda) x_1+4 x_2-2 x_3=0 \\
& 4 x_1+(5-\lambda) x_2-2 x_3=0 \\
& -2 x_1-5 x_2+(3-2 \lambda) x_3=0
\end{aligned}
$$

---

Answer

 

1. 

$$
\begin{aligned}
& e^{y^2} \cdot \sin (x+y)=c \text { or } \\
& y^2+\ln |\sin (x+y)|=c
\end{aligned}
$$

 

2.

$$
y=c_1 x^4+c_2 x^{-4}-\frac{1}{15} x
$$

 

3.

$$
\ln y \cdot \sin x=x \cos x-\sin x+c
$$

 

4.

$$
y=c_1 e^{-x}+c_2 e^{0.5 x}+\left(\frac{1}{4} x-\frac{5}{8}\right) e^x+\left(\frac{1}{12} x^2+\frac{1}{9} x\right) e^{-x}
$$

 

5.

$$
y=c_1 x+c_2(x \ln x+1)+\frac{1}{4} x^3-\frac{1}{2} x^2
$$

 

6.

$$
\begin{aligned}
& x=c_0\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right] \quad(\lambda=1) \\
& x=c_2\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-0.25
\end{array}\right] \quad(\lambda=\frac{19}{2})\\\end{aligned}
$$