공수1 14년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 미분 방정식을 풀어라.

$$
\left(y e^{x y}+3 x^2 y\right)+\left(x e^{x y}+x^3+\cos y\right) \cdot \frac{d y}{d x=0}
$$

2. $\left(y+e^x \cdot y^2\right) d x-d y=0$ 을 풀어라.

3. $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=\sec (\ln x)$ 을 풀어라.

4. $\left(x^2-2 x\right) y^{\prime \prime}+2(1-x) y^{\prime}+2 y=0$ 의 두 제차해가 $y_1(x)=x^2$ 과 $y_2(x)=x-1$ 이다. $\left(x^2-2 x\right) y^{\prime \prime}+2(1-x) y^{\prime}+2 y=6\left(x^2-2 x\right)^2$ 의 일반해를 구하라.

5. 다음 초깃값 문제를 풀어라.

$$
\left(y+x e^{\frac{y}{x}}\right) d x-x d y=0, y(1)=1
$$

6. $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime}=6+4 \cos 2 x$ 를 풀어라.

7. $y_1(x)=e^{-x} \sin x$ 가 다음 미분 방정식의 제차해일때, 일반해를 구하라.

$$
9 y^{\prime \prime \prime}+11 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-14 y=0
$$

8. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}=\sqrt{\left(y^{\prime}\right)^2-4}
$$

---

 

Answer

1.

$$
e^{x y}+x^3 y+\sin y=C
$$

2.

$$
y^{-1}=-\frac{1}{2} e^x+c e^{-x}
$$

3.

$$
c_1 \cos (\ln x)+c_2 \sin (\ln x)+\cos (\ln x) \cdot \ln |\cos (\ln x)|+\ln x \cdot \sin (\ln x)
$$

4.

$$
y=c_1 x^2+c_2(x-1)+x^4-4 x^3
$$

5.

$$
\ln |x|+e^{-\frac{y}{x}}=e^{-1}
$$

6.

$$
y=c_1 \cos \sqrt{2} x+c_2 \sin \sqrt{2} x-\sin 2 x+3 x+c_3
$$

7.

$$
y=e^{-x}\left(c_1 \cos x+c_2 \sin x\right)+c_3 e^{\frac{7}{3} x}
$$

8.

$$
x= \pm \sinh ^{-1}\left(\frac{y+c_1}{2}\right)+c_2
$$