공수1 15년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 미분 방정식을 풀어라.

$$
\left(1+e^{y-x+5}\right) d x-d y=0
$$

2. 주어진 치환을 이용하여 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
x y^{\prime}=y \ln (x y), u=\ln y
$$

3. $y y^{\prime}=x\left(y^{-2}-y^2\right)$ 을 풀어라.

4. $y^2 \cdot y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3=0$ 을 풀어라.

5. 주어진 함수를 해로 갖는 2 계 제차 선형 상미분방정식을 구하라.

$$
y_1=3, y_2=\ln x, \quad(x>0)
$$

6. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^x}{x}+4 x^2-3
$$

7. $x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=\ln x^2,(x>0)$ 을 풀어라.

8. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
\frac{d^4 y}{d x^4}+2 \cdot \frac{d^2 y}{d x^2}=12-8 \sin 2 x
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
x+e^{x-y-5}=C
$$

2.

$$
\ln x y+c x+1=0
$$

3.

$$
y^4=1+c e^{-2 x^2}
$$

4.

$$
x=-\ln |y|+c_1 y+c_2
$$

5.

$$
x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=0
$$

6.

$$
y=e^x\left(c_1+c_2 x+x \ln |x|\right)+4 x^2+16 x+21
$$

7.

$$
y=c_1 x^2+c_2 x^3+\frac{1}{3} \ln |x|+\frac{5}{18}
$$

8.

$$
y=c_1 \cos \sqrt{2} x+c_2 \sin \sqrt{2} x-\sin 2 x+3 x^2+c_3 x+c_4
$$