공수1 17년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 미분방정식을 풀어라.((6점))

$$
\left(y+x+x e^{\frac{y}{x}}\right) d x-x d y=0
$$

2. $\left(y-2 x y^2 e^x\right) d x+d y=0$ 을 풀어라.((6점))

3. 다음 미분방정식을 풀어라.((8점))

$$
y^{\prime \prime}+9 y=-4 x \sin x+\sec ^2 3 x
$$

4. $y=x+\frac{1}{u(x)}$ 로 치환하여 다음 미분방정식을 풀어라.((6점))

$$
y^{\prime}-\left(2 x^3+1\right) y=-x^2 y^2-x^4-x+1
$$

5. $x^2 y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=x^2 \ln x$ 을 풀어라.((6점))

6. $y^{(4)}+y^{\prime \prime}+y=42 x e^{2 x}$ 을 풀어라.((8점))

7. $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]$ 의 고윳값과 고유벡터를 구하라.

---

 

Answer

 

1.

$$
x=C \cdot \frac{e^{\frac{y}{x}}}{1+e^{\frac{y}{x}}}
$$

2.

$$
y^{-1}=e^x\left(-x^2+c\right)
$$

3.

$$
y=\left(\frac{1}{3} x^2+c_1\right) \cos 3 x+\left(-\frac{1}{9} x+c_2\right) \sin 3 x+\frac{1}{9} \sin 3 x \cdot \ln |\sec 3 x+\tan 3 x|-\frac{1}{9}
$$

4.

$$
y=x+\frac{1}{\left(x^2-2 x+2\right)+c e^{-x}}
$$

5.

$$
y=\left(c_1+c_2 \ln x+\frac{1}{6}(\ln x)^3\right) x^2
$$

6.

$$
y=e^{-0.5 x}\left(c_1 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_2 \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+e^{0.5 x}\left(c_3 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_4 \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+\left(2 x-\frac{24}{7}\right) e^{2 x}
$$

7.

$$
\begin{cases}{\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0
\end{array}\right]^T} & (\lambda=0) \\
{\left[\begin{array}{lll}
0 & 2 & 1-i
\end{array}\right]^T} & (\lambda=i) \\
{\left[\begin{array}{lll}
0 & 2 & 1+i
\end{array}\right]^T} & (\lambda=-i)\end{cases}
$$