공수1 19년도 중간 기출 및 해답

Problem

1. 1 차 선형 비제차 방정식 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 에서

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
-2 & -5 & 8 & 1 \\
1 & 3 & -5 & 1 \\
3 & 11 & -19 & 7 \\
1 & 7 & -13 & 5
\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}
-17 \\
5 \\
1 \\
P
\end{array}\right] \text { 일때, }
$$

((1)) 1 차 선형연립방정식이 무한개의 해를 갖게 하는 p 값을 구하여라. 단 첨가행렬 $[\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}]$ 을 이용해서 무한개 해를 갖게하는 p 값을 구하여라
((2)) 첨가행렬에 p 값을 대입해서 첨가행렬을 행 사다리꼴로 만들고, 이를 이용해 서 무한개 해를, 매개변수 t 를 포함하는 벡터 $\boldsymbol{x}=t\left[\begin{array}{llll}-1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]^T+\alpha$ 로 나타낼 때 벡터 $\boldsymbol{\alpha}$ 를 구하라.

 

2. 다음 행렬에서 $a+b=c+d$ 일때, $\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$ 이 고유벡터임을 보이고, 고유값을 구하라.

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right] \text { (단 고윳값은 a, b, c, d의 관계식으로 구하라.) }
$$

3. 다음 초기값 문제를 푸시오.

$$
y^{\prime} y^{\prime \prime}=4 x, y(1)=5, y^{\prime}(1)=2,(x>0)
$$

4.

((1)) 주어진 방정식을 완전미분방정식으로 되게 하는 적분인자는 $F(x y)$ 인 형태 를 갖는다. $t=x y$ 라 할때 t 에 대한 $\mathrm{F}(\mathrm{t})$ 의 1 계 선형제차방정식을 구하고 그를 이용하여 $F(x y)$ 을 구하여라.
((2)) $F(x y)$ 를 이용하여 주어진 방정식의 해를 구하여라.

$$
\left(3 x+\frac{6}{y}\right) d x+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{3 y}{x}\right) d y=0
$$

5. 2 계 비제차선형미방 $x^2 y^{\prime \prime}+a x y^{\prime}+b y=r(x) \neq 0$ 의 일반해를 구하기 위해 제차선형미분방정식의 해의 기저를 구해보니 그 중 하나가 $x^2 \ln x$ 이고, $y_p=$ $x^2(\ln x)^2$ 이 나왔다. 이 조건을 만족하는 상수 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 와 $r(x)$ 를 구해 이 미분방정 식을 완성하라.

 

6. 주어진 하나의 해가 $y_1=e^t$ 일때 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.

$$
(2-t) y^{\prime \prime \prime}+(2 t-3) y^{\prime \prime}-(t-1) y^{\prime}=0
$$

7. $y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-2 y=2 e^x$ 의 일반해를 구하시오.

 

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Answer

 

1.
((1)) $p=-23, \quad$ ((2)) $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}26 \\ -7 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$

2. 고유벡터를 만족하며, 이때의 고윳값은 $a+b$ 이다.

3.

$$
y=x^2+4 \quad \text { or } \quad y=-x^2+6
$$

4.

$$
\text { (1) } F(x y)=x y, (2) \,\,x^3 y+3 x^2+y^3=C
$$


5.

$$
a=-3, \quad b=4, \quad x^2 y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=2 x^2
$$

6.

$$
y=c_1 e^t+c_2\left(\frac{1}{2} t^2-3 t\right) e^t+c_3
$$

7.

$$
y_p=\left(c_1+c_2 x-x^2\right) e^x+c_3 e^{2 x}
$$