공수1 23년도 중간 기출 및 해답

 

 

Problem

 

1. $x\left(y^{\prime}\right)^2+\left(x^2+1\right) y y^{\prime}+y^2=0$ 을 만족시킬 때, $\lim _{x \rightarrow \infty} y$ 를 구하라

2. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
(3 \sin y-5x) dx+\left(2x^2 \cot y\right) dy=0
$$

3. 미분방정식 $(2-x) y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+2(x-3) y=0$ 의 한 해가 지수함수 임을 이용하어, 일반해를 구하시오.

4. 주어진 2계 비제차 선형미분 방정식 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g(t)$ 의 해가 $t^2+1+e^t \cos t+e^t \sin t$ 로 주어졌다.

    ((a)) 주어진 위의 방정식에 대응하는 제자방정식의 해를 구하라.
    ((b)) 이 조건을 만족하는 적당한 상수 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 와 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 를 구해 이 미분방정식을 완성하라.

5. 다음 미분방정식의 일반해들 구하시오.

$$
4 x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}+5 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y=-24
$$

6. 다음 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구하라.

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 3 \\
-2 & 1 & 6 \\
1 & 2 & 2
\end{array}\right]
$$

7. 다음 선형 연립방정식의 해를 $X=X_h+X_p$ 의 형대로 구하라.
   (( X_h : 매개변수를 갖는 무한개의 해, X_p : 비제차의 특수해 ))

$$
\begin{aligned}
& 4 x_1+12 x_2-7 x_3-20 x_4=22 \\
& 3 x_1+9 x_2-5 x_3-28 x_4=30 \\
& 7 x_1+21 x_2-12 x_3-48 x_4=52 \\
& x_1+3 x_2-2 x_3+8 x_4=-8
\end{aligned}
$$

---

 

Answer

1.
$$ 0 $$

2.

$$
-\frac{2 x^{2.5}}{\sin y}+2 x^{1.5}=C
$$

3.

$$
y=\left(C_1 e^{2 x}+C_2 e^{-x}\left(x-\frac{5}{3}\right)\right)
$$

4.

((a)) $e^t\left(c_1 \cos t+c_2 \sin t\right)$
((b)) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=2 t^2-4 t+4$

 

5.

$$
C_1 x+x^{\frac{3}{8}}\left(C_2 \cos \frac{\sqrt{7}}{8} \ln x+C_3 \sin \frac{\sqrt{7}}{8} \ln x\right)+24
$$

6.

$$
\begin{array}{lll}
{\left[\begin{array}{lll}
-2 & 1 & 0
\end{array}\right]^T,\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 1
\end{array}\right]^T} & (\lambda=5) \\
{\left[\begin{array}{lll}
-1 & -2 & 1
\end{array}\right]^T} & & (\lambda=-3)
\end{array}
$$

7.

$$
C_1\left[\begin{array}{c}
-3 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+C_2\left[\begin{array}{c}
64 \\
0 \\
36 \\
1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
100 \\
0 \\
54 \\
0
\end{array}\right]
$$