공수1 04년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $(x \cos (2 y-x)-\sin (2 y-x)) d x-2 x \cos (2 y-x) d y=0$ 을 풀어라.

2. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y\left(x^2 y^3-4\right)}{x}
$$

3. Picard 반복법을 이용하여 $y_n$ 과 근사해를 $y_1$ 까지 구하라.

$$
y^{\prime}=5(x+1)-3 \sqrt{y}, \quad y(0)=1
$$

4. $y^{\prime \prime}-y=e^t, \quad y(0)=0, y(1)=1$ 을 풀어라.

5. 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\frac{1}{t^3 e^t}+3
$$

6. 다음 초기치 문제를 풀어라.

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}+3 \cdot \frac{d y}{d x}+2 y=2 \cosh x \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=\frac{7}{6}
$$

7. 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}+2 \cdot \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x e^x}
$$

8. $y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-y=3$ 의 일반해를 구하여라.

---

 

Answer

 

1.

$$
x \sin (2 y-x)=C
$$

2.

$$
y^{-3}=\frac{3}{10} x^2+C x^{12}
$$

3.

$$
y_n=\frac{5}{2} x^2+5 x+1-3 \int_0^x \sqrt{y_{n-1}(\tau)} d \tau, \quad y_1=\frac{5}{2} x^2+2 x+1
$$

4.

$$
y=\left(\frac{e-0.5 e^2}{e^2-1}+0.5 t\right) e^t+\left(\frac{0.5 e^2-e}{e^2-1}\right) e^{-t}
$$

5.

$$
\left(c_1+c_2 t+\frac{1}{2 t}\right) e^{-t}+3
$$

6.

$$
y=\left(x+\frac{5}{3}\right) e^{-x}-\frac{5}{6} e^{-2 x}+\frac{1}{6} e^x
$$

7.

$$
y=\left(c_1+c_2 x+x \ln |x|\right) e^{-x}
$$

8.

$$
y=c_1 e^x+c_2 e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2} x}+c_3 e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2} x}-3
$$