공수1 03년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $\frac{d y}{d x}=\frac{e^{2 x-y^2}}{2 y}, \quad y(0)=0$ 을 풀어라.

2. Picard 반복문을 이용하여 다음 방정식의 근사해를 $y_3$ 까지 구하시오.

$$
y^{\prime}+2 y-x=0, y(0)=0
$$

3. 다음 미분방정식의 일반해를 구하여라.

$$
y^{\prime}-y=4
$$

4. 다음 1 계 미분방정식의 적분인자 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 를 구하고 미분방정식을 풀어라.

$$
(y+1) d x-(x+1) d y=0
$$

5. 다음 함수들은 양의 $x$ 축에서 1 차 독립인가, 또는 1 차 종속인가?
$$\cos x, \sin x, \sin 2 x$$

6. $x^2 y^{\prime \prime}+x(x-2) y^{\prime}-(x-2) y=0$ 의 해, $y_1=x$ 를 구하였다. 또 하나의 해 $y_2$ 를 구하여라.

7. $x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=\frac{21}{x^4}$ 의 해를 구하여라.

8. 다음 고계미분방정식의 일반해를 구하여라.

$$
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=8 e^x+x+3
$$

 

---

Answer

 

1.

$$
e^{y^2}=\frac{1}{2}\left(e^{2 x}+1\right)
$$

2.

$$
y_1=\frac{1}{2} x^2, y_2=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{3} x^3, y_3=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{6} x^4
$$

3.

$$
y=-4+C e^x
$$

4.

$$
F(x)=\frac{1}{(x+1)^2}, \quad \frac{y+1}{x+1}=C
$$

5. Linear independent
6.

$$
y=x e^{-x}
$$

7.

$$
y=c_1 x^2+c_2 x^3+0.5 x^{-4}
$$

8.

$$
y=\left(c_1+c_2 x+c_3 x^2\right) e^{-x}+e^x+x
$$