공수1 05년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $\ln (2 x-y)+(y-2 x-2 \ln (2 x-y)) d x=0$ 을 풀어라.

2. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
y^{\prime}(\sinh 3 y-2 x y)=y^2
$$

3. 적분인자 $F(x)$ 를 이용하여 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.

$$
\left(3 x e^y+2 y\right) d x+\left(x^2 e^y+x\right) d y=0
$$

4. 다음 방정식의 해를 구하여라.

$$
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=3 e^{-2 x}+e^{3 x}
$$

5. 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.

$$
x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=21 x^{-4}
$$

6. 다음 초기치 미분방정식의 해를 구하시오.

$$
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=10 \sin x, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1
$$

7. $y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime}=0$ 의 해의 기저 ((basis))를 구하고, 그 해들이 1 차 독립임을 Wronskian을 이용하여 증명하시오.

8. 다음 고계미분방정식의 초깃값 문제를 푸시오.

$$
\frac{d^3 y}{d x^3}-2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}-2 y=12 \sin 2 x-4 x, \quad y^{\prime \prime}(0)=-4, y^{\prime}(0)=5, y(0)=2
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
\frac{1}{2}(\ln (2 x-y))^2+x=C
$$

2.

$$
x y^2-\frac{1}{3} \cosh 3 y=C
$$

3.

$$
x^3 e^y+x^2 y=C
$$

4.

$$
y=\left(c_1+3 x\right) e^{-2 x}+c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{30} e^{3 x}
$$

5.

$$
y=c_1 x^2+c_2 x^3+0.5 x^{-4}
$$

6.

$$
y=\sin x+2 \cos x
$$

7.

$$
\left\{\begin{array}{l}
y 1=1 \\
y_2=\cos 2 x \\
y_3=\sin 2 x
\end{array} \quad, \text { Linearly independent }(\text { Wronskian }=8)\right.
$$

8.

$$
y=\sin x+\sin 2 x+\cos 2 x+2 x+1
$$