공수1 09년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
\left(e^x-\sin y\right) d x+\cos y d y=0
$$

2. 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.

$$
y^{\prime}=(y-1) \cot x
$$

3. 다음 미분방정식의 일반해와 특수해를 구하시오.

$$
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=4 x^2+6 e^x
$$

4. 다음 식을 매개변수 변환법으로 풀어라.

$$
x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=x \cos x
$$

5. 제차 방정식의 해가 $e^{2 x}$ 와 $x e^{2 x}$, 특수해가 $x+1+e^x$ 인 2계 비제차 선형상미분방정식을 만드시오.

6. 다음 미분 방정식의 일반해를 구하시오.

$$
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=t+3 \cos t+e^{-2 t}
$$

7. 다음 방정식의 초깃값 문제를 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=12 e^{2 x}-8 e^{-2 x}, \quad\left(y(0)=-2, y^{\prime}(0)=12\right)
$$

8. 다음 방정식의 초깃값 문제를 풀어라.

$$
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=8 \sin x, \quad\left(y(0)=-1, y^{\prime}(0)=-3, y^{\prime \prime}(0)=5\right)
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
x+e^{-x} \sin y=C
$$

2.

$$
y=C \sin x+1
$$

3.

$$
y=\left(c_1 x+c_2\right) e^{-2 x}+x^2-2 x+1.5+\frac{2}{3} e^x
$$

4.

$$
c_1 x^2+c_2 x^3+x^3 \cdot \int \frac{\cos x}{x^3} d x-x^2 \int \frac{\cos x}{x^2} d x
$$

5.

$$
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=4 x+e^x
$$

6.

$$
y=c_1 e^{2 t}+\left(c_2+\frac{1}{8} t\right) e^{-2 t}-\frac{3}{5} \sin t-\frac{1}{8} t^2+c_3
$$

7.

$$
y=(6 x+2) e^{2 x}-e^{-2 x}-3
$$

8.

$$
y=\left(x^2+1\right) e^{-x}-2 \sin x-2 \cos x
$$