공수1 10년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. 다음 방정식을 풀어라.

$$
2 x y d x+\left(3 x^2+4 y\right) d y=0
$$

2. 다음 초깃값 문제를 풀어라..

$$
\frac{d y}{d x}=(-2 x+y)^2-7, \quad y(0)=0
$$

3. 다음 초깃값 문제를 풀어라..

$$
y^{\prime}+4 y \cdot \cot 2 x=6 \cos 2 x, \quad y\left(\frac{1}{4} \pi\right)=2
$$

4. 다음 미분방정식 문제를 풀어라.

$$
y^{\prime}+(x+1) y=e^{x^2} \cdot y^3
$$

5. 다음 방정식을 매개변수 변환법으로 풀어라.

$$
4 y^{\prime \prime}+36 y=C s c 3 x
$$

6. 다음 비제차 방정식의 일반해를 구하여라.

$$
t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}+y=t^2 e^{2 t}, \quad\left(\text { 단 제차 방정식의 한해는 } y_1(t)=1+t\right)
$$

7. 다음초깃값 문제를 풀어라.

$$
y^{\prime \prime}+y=4 x+10 \sin x, \quad y(\pi)=0, \quad y^{\prime}(\pi)=2
$$

8. 다음 상미분 방정식을 풀어라.

$$
y^{(4)}+0.5 y^{\prime \prime}+0.625 y=e^{-x} \cos 0.5 x
$$

---

 

Answer

 

1.

$$
x^2 y^3+y^4=C
$$

2.

$$
\frac{1}{6} \ln \left|\frac{-2 x+y-3}{-2 x+y+3}\right|-x=0
$$

3.

$$
y=\sin 2 x+\csc ^2 2 x
$$

4.

$$
y^{-2}=e^{x^2}+C e^{x^2+2 x}
$$

5.

$$
y=c_1 \cos 3 x+c_2 \sin 3 x-\frac{1}{12} x \cos 3 x+\frac{1}{36} \sin 3 x \cdot \ln |\sin 3 x|
$$

6.

$$
y=c_1(1+t)+c_2 e^t+\frac{1}{2}(t-1) e^{2 t}
$$

7.

$$
y=(9 \pi-5 x) \cos x+7 \sin x+4 x
$$

8.

$$
y=\left(c_1 x+c_2\right) \cos 0.5 x+\left(c_3 x+c_4\right) \sin 0.5 x-0.5 \cos 0.5 x \cdot e^{-x}
$$