공수1 97년도 중간 기출 및 해답

Problem

 

1. $x d x+y d y=3 \sqrt{x^2+y^2} \cdot y^2 d y$

2. $\left(3 x^2+4 y\right) d y+2 x y d x=0$ 의 일반해를 구하라

 

3. 점 $(2,0)$ 을 통과하는 $y=1+3 x+c e^{3 x}$ 의 직교사영을 구하라.

 

4. 다음의 초기값 문제를 풀어라

$$
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=8
$$

5. 다음 2 계 비제차 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=8 e^{-3 x}+e^{3 x}
$$

6. $(x+1)^2 y^{\prime \prime}-(x+1) y^{\prime}+y=0$ 의 일반해를 구하라.

 

7. 다음 방정식을 풀어라.

$$
x^2 y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=x^4+x^2, \quad x>0
$$

8. $y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=16 e^x+x+3$ 을 풀어라.

 

---

Answer

1.

$$
\sqrt{x^2+y^2}-y^3=c
$$

2.

$$
x^2 y^3+y^4=c
$$

3.

$$
\left(x-\frac{1}{3} y-\frac{1}{27}\right) e^{9 y}=\frac{53}{27}
$$

4.

$$
y=-e^x+3 e^{3 x}
$$

5.

$$
y=c_1 e^x+\frac{1}{3} e^{-3 x}+\left(\frac{1}{2} x+c_2\right) e^{3 x}
$$

6.

$$
y=\left(c_1+c_2 \ln (x+1)\right)(x+1)
$$

7.

$$
y=c_1 x+\left(c_2+\frac{1}{3} \ln x\right) x^4-\frac{1}{2} x^2
$$

8.

$$
y=\left(c_1+c_2 x+c_3 x^2\right) e^{-x}+2 e^x+x
$$