공수1 98년도 중간 기출 및 해답

Problem

1. $y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^3+y^{\prime}$ 를 풀어라.

2. 다음 미분방정식을 풀어라.
$$
\frac{y}{x-1} d x+\left[\ln (2 x-2)+\frac{1}{y}\right] d y
$$

3. Picard법을 이용하여 $y^{\prime}=2 e^x-y, y(0)=1$ 의 근사해 $y_1, y_2, y_3$ 를 구하라

4. $(x-c)^2+y^2=c^2$ 의 직교사영 ((orthogonal \, trajectory)) 을 구하여라.

 

5. $y^{\prime}-5 y=x^2 e^x-x e^{5 x}$ 를 풀어라.

 

6. $2 y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\left(e^x+e^{-x}\right)^2$ 을 풀어라.

 

7. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\cos \left(e^{-x}\right)$

 

8. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\tan x$ 을 풀어라

 

 

 

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Answer

1.

$$
y=c_1+\sin ^{-1}\left(c_2 e^x\right)
$$

2.

$$
y \ln (2 x-2)+\ln |y|=c
$$

3.

$$
y_1=2 e^x-x-1, \quad y_2=\frac{1}{2} x^2+x+1, \quad y_3=2 e^x-\frac{1}{6} x^3-\frac{1}{2} x^2-x-1
$$

4.

$$
y=c_1 x+c_2
$$

5.

$$
y=\left(-\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{8} x-\frac{1}{32}\right) e^x+\left(-\frac{1}{2} x^2+c\right) e^{5 x}
$$

6.

$$
y=c_1 e^{-x}+c_2 e^{\frac{1}{2 x}}+\left(\frac{1}{9} x+c_3\right) e^{2 x}-\frac{1}{20} e^{-2 x}+1
$$

7.

$$
y=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}-e^{2 x} \cos \left(e^{-x}\right)
$$

8.

$$
y=\left(c_1 \sin x+c_2 \cos x+c_3\right)-\sin x \cdot \ln |\sec x+\tan x|-\ln |\cos x|
$$