공수1 99년도 중간 기출 및 해답

Problem

1. 다음 초기치 문제를 풀어라.

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+e^y}, y(1)=0
$$

2. Picard법을 이용하여 다음 미분방정식의 근사해 $y_1, y_2, y_3$ 를 구하라

$$
y^{\prime}=2 x y, y(0)=1
$$

3. $\left(\cos x \cdot \sin x-x y^2\right) d x+y\left(1-x^2\right) d y=0$ 을 풀어라

4. 다음 곡선의 직교사영을 구하라.

$$
y=C e^{-4 x^2}
$$

5. $\left(\mathrm{D}^2-0.2 D+100.01\right) y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=40$ 를 풀어라.

6. 다음 미분방정식을 풀어라.

$$
4 x^2 y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-y=\frac{12}{x}
$$

7. $y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=4 e^{-x}-x+1$

8. $x^3 y^{\prime \prime \prime}-3 x^2 y^{\prime \prime}+\left(6-x^2\right) x y^{\prime}-\left(6-x^2\right) y=0$ 의 한개의 근이 $y_1=x$ 일때, 이 미분방정식을 풀어라.

 

 

 

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Answer

1.

$$
x e^{-y}-y=1
$$

2.

$$
y_1=1+x^2, y_2=1+x^2+\frac{1}{2} x^4, y_3=1+x^2+\frac{1}{2} x^4+\frac{1}{6} x^6
$$

3.

$$
-\frac{1}{4} \cos 2 x-\frac{1}{2} x^2 y^2+\frac{1}{2} y^2=C
$$

4.

$$
x=C e^{4 y^2}
$$

5.

$$
y=4 e^{0.1 x} \sin 10 x
$$

6.

$$
y=c_1 x^{\frac{1}{2}}+c_2 x^{-\frac{1}{2}}+\frac{4}{x}
$$

7.

$$
y=\left(c_1+c_2 x+c_3 x^2+\frac{2}{3} x^3\right) e^{-x}-x+4
$$

8.

$$
y=\left(c_1 e^x+c_2 e^{-x}+c_3\right) x
$$